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大人の方に、中学に入り新しく出てきたものをあげて下さい、と聞くと英語と並んで必ず数学の「関数」というものが上位に入ります。しかし、関数の考え方がその後の理数系の重要な基礎となるにもかかわらず、ほとんどの受験生が関数問題を苦手としているのが実情です。ちなみに今これを読んでいるご両親の中で、高校受験レベルの数学は楽勝という方は一体どれほどいらっしゃるでしょうか？
今の自分には出来ないが、在りし日には出来たこともあったのだという理由で、自分のことは棚に上げて子供には一生懸命勉強しろと言わなくてはなりません。では、関数の弱点というのがどこからきているのかを少しご紹介しましょう。 |
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1次関数 y＝ax＋b は、もっとも基本的な関数ですが、この式がどういう意味を持つか、つまり直線を表すといことをしっかりと理解していない場合が多いのです。 |
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y＝ax＋b
aはグラフの「傾き」や「変化の割合」、bはy切片（y軸と交わる点の座標）となります。 |
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つぎの1次関数のグラフを書きなさい。
y＝2x＋6 |
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 [答え]
このときx軸との交点はy＝0となるときなので、0＝2x＋6を解いてx＝-3となり、右のようなグラフがかけます。この直線を描く練習は意外と出来ていないことが多いので、一度完全にマスターするまで何度か繰り返しましょう。 |
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次に2次関数について、基本の計算を確認してみましょう。 |
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たすきがけ法・・・因数分解の基本。2次式の解を求める。 |
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  は右のように |
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関数が苦手という人は、まず何を知っておかなければならないか？
それは、関数の問題の最終目標です！ |
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高校受験数学の関数はどこまで行っても、1次関数と2次関数のグラフが組み合わさったものから交点などを求め、グラフ上で図形を作り、その面積を求める問題にしかならないのです。これは一見すると様々な問題が融合されていて複雑に見えますが、順を追って整理すれば全体像が見えてきます。そして、それが分かると徐々にそれらの内、何が苦手で関数の問題が解けなくなってしまうのかが分かります。 |
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1次方程式・2次方程式・1次関数・2次関数、これらの違いってなんでしょうか？
分かっているようで実はあいまいになっていませんか？ |
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1次方程式 |
・・・ |
3x＋6＝0 |
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2次方程式 |
・・・ |
２ －７ｘ－１５＝０ |
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1次関数 |
・・・ |
y＝3x＋6 |
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2次関数 |
・・・ |
ｙ＝２―７ｘ－１５ |
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という感じです。 |
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分かりましたか？方程式には変数はひとつしか含まれていません。方程式とは、何か分からないものをxとおき、与えられた条件から作られた式で、解＝xを求めるのが目的です。関数とはふたつの変数xとyとの関係を表したもので、グラフを表します。また、1次と2次とは簡単に言えばが 含まれているかいないかです。勘違いしやすいのは、xとyのふたつの変数があるから2次なのではないということです。 |
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● |
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1次方程式は、xを求める際に、式の移項や分数計算が関わります。 |
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● |
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2次方程式にはさらに因数分解（たすきがけ）や平方完成が必要です。 |
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● |
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1次関数は直線のグラフを表し、xの係数は「傾き」を、定数項（数字のみの部分）は「y切片」を表しています。 |
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● |
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2次関数は放物線のグラフを表し、 の係数はグラフの開き度合いを表し、正ならば下に凸、負ならば上に凸です。 |
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今、放物線  と直線 y＝bx＋c があり、2点A（3，18），B（m，8）で交わっています。aは正の数、mは負の数とし、以下の問いに答えなさい。 |
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| （1） |
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aの値を求めなさい。 |
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| （2） |
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b，cの値を求めなさい。 |
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| （3） |
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原点OとA，Bとを結んで出来る三角形の面積を求めなさい。 |
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| （4） |
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放物線上を動点Pが＞0の範囲で動くとき、三角形ABPと三角形OABの面積が等しくなるような点Pの座標を求めなさい。 |
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・・・分かりましたか？この問題文を読んだだけで、パッと解法が浮かんだ人は大丈夫です。それ以外の人は何が分からないから解けないか分かりますか？以下、ひとつひとつ見ていきましょう。 |
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[答え(1)]
2次関数の係数を決定するという問題です。
関数のグラフ上にある点のx・y座標は、どこでもその式の関係を満たすので,グラフが通る点の座標をxとyに代入すれば必ず成り立つので、aが出てきます。つまり、ここでは点A（3，18）です。よって、18 となり a＝2 となります。 |
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[答え(2)]
1次関数の係数を求める問題ですが、いくつかのステップが必要です。まず1次関数の決定の仕方を確認しましょう。
分からない直線は、y＝●x＋▲とおきましょう。●は傾きで、▲はy切片です。 |
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| ① |
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2点を通る場合
その2点の座標をそれぞれ式に代入すると●と▲の含まれた式が2つ出来るので、連立して解く。 |
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| ② |
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1点を通り傾きが分かる場合
●は傾きです。1点の座標を代入すれば▲の1次方程式となるので解く。 |
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| ③ |
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1点を通り、y切片が分かる場合
▲はｙ切片です。1点の座標を代入すれば●の1次方程式となるので解く。 |
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| ④ |
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傾きとｙ切片が分かっている場合
そのままｙ＝●x＋▲に当てはめればおしまいです。 |
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どうでしょうか？今回のは、①の2点を通る場合ですが、点Bの座標は（m，8）となっていて、分かりません。まずはmの値を求めたいので、問題(1)から放物線の通る点として代入しましょう。y＝2 より点Bにおいて、 8＝2 となり、mは負より、m＝-2となります。
①から点A：18＝3b＋c と点B：8＝-2b＋c という2式を連立して解くと、b＝2、c＝12と求まります。 |
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[答え(3)]
ここで、図形の問題です。こういった場合はy軸で三角形を二分し、原点Oと直線ABのy切片を結ぶ直線を底辺とする2つの三角形を考えましょう。高さはそれぞれ、点A・Bのx座標の原点からの距離となります。つまり、底辺12で高さが2の三角形と、底辺12で高さが3の三角形の合計となるわけです。よって、12×2÷2＋12×3÷2＝30 となります。 |
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[答え(4)]
 面積が同じという場合に必ず覚えておかなければいけないのが右のような面積移動です。
平行な2直線の間で、底辺が同じなら2つの三角形の面積は同じになります。つまりこの場合、直線ABと直線OPが平行であれば、線分ABを底辺として高さが等しくなり同じ面積となります。平行とは傾きが等しいということですから、直線OPの傾きもやはり2ということになります。さらに原点Oを通ることから、直線OPの式は y＝2x ということができます。つまり点Pは、放物線と直線OPの交点ということになります。よって、2つのグラフの交点座標はそれらの連立式の解であるから、その2式を連立して解けば求まります。
y＝2 と y＝2x を連立して解いて、x＝0，1となります。x＝0は原点なので、点Pのx座標は1となります。よってy座標はどちらかに代入すればよいので、y＝2 となります。答えはP（1，2）です。 |
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さて、どこでひっかかりましたか？ひとつひとつを見れば、はっきりとやらなければならないことが分かると思います。それが見つかったら、面倒くさがらずにその範囲の復習をしましょう！！そして、もう一度挑戦してみてください。きっとクリア出来るはずです！！ |
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高校受験数学において、図形の要点はなんであるか知っていますか？
それはおおまかに次の3つでしょう。 |
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| ① |
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三角形 |
・・・ |
三平方の定理 ⇒ 角度 ⇒ 相似 ⇒ 内接円と外接円 |
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| ② |
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円 |
・・・ |
円周角と中心角 ⇒ 接線と円の関係 ⇒ 内接円と外接円 |
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| ③ |
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立体 |
・・・ |
円錐の体積と表面積 ⇒ 四角錐の体積と表面積 |
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以上のような範囲は、確実にその性質や公式を覚えておかなければなりません。
そしてこれらの分野はそれぞれ独立しているわけではなく、受験ではとくに3つを融合した問題が出てくるので複雑に見えているのです。しかし、これも基本的な事項をしっかりとおさえておけば、徐々に全体像が見えてきます。 |
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また、これらの中でも最もよく使う定理は「三平方の定理」であると言っても過言ではないでしょう。それは、三平方の定理は純粋な図形問題に限らず関数のグラフやその他さまざまなところで使われるからです。 |
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高校受験においては直角三角形をすぐに見つけ出すことは鉄則です。
とくに立体図形の中で現れる直角三角形はなかなか見つけられないので、少しずつ練習し、何を求めるためにどうしたらいいのかということを意識していくように心がけていきましょう。 |
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相似の問題では下の3つのパターンを見つけることが第一歩
相似比や面積比における重要な基本形…この3つは確実に使いこなしましょう。 |
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